「数学月間の会」へようこそ!
Welcome to Maths Awareness Month Organizing Committee of Japan !

The period of July 22nd to August 22nd was set as "Maths Awareness Month of Japan"
by the Mathematical Association of Japan
(MAJ) in 2005.
Maths Awareness Month of Japan is run on a voluntary basis.
"Journal of Mathematical Culture (JMC)" is the organ of MAJ and is published half-yearly.
These dates are derived from two mathematical constants:
Archimedes' constant pi(22/7=3.14) and Napier's constant / Euler's number e(22/8=2.7).
During this period we support various events for raising the awareness of maths
 throughout the country.
7月22日--8月22日は数学月間(since2005)
日本数学協会は,2005年に,7月22日ー8月22日を数学月間と定めました.
この期間は,数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます.
この期間に,数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています.

数学と社会の架け橋=数学月間     Maths for all !
日本数学協会(MAJ), 数学月間の会(SGK)  
 

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2014/09/16

029_4次元を見る万華鏡

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
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数学月間SGK通信 [2014.09.16] No.029
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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読者の皆様へ.
8月19日(025号)からまぐまぐの遅配が続いています.
特に,026号,027号はまだ配送されていない方があるようです.
届かない方がありましたら,ご一報ください.

これらの最近号では多面体に関する話をしています.

メルマガ更新は毎火曜日の朝7:00に行っておりますので,
以下のサイトでもご覧になれます.

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◆4次元の正多面体は6種あるのですが,3次元以上が見えない私たちには
理解が困難です.
色々な図や説明が種々の本やwebで見られますが,どれもしっくりしません.
結局,4次元の正多胞体6種を最初に見つけたシュレーフリの説明が
最もわかり易いようです.(コクセター[幾何学入門]や
ヒルベルト,コーン・フォッセン[直観幾何学]に載っています).
さて,このようなものを記述するシュレーフリの記号というのは
大変良くできています.この記号の仕組みを理解することが
4次元の理解に直結します.シュレーフリの記号を単純な例で見てみましょう.

◆3次元の正多面体の例
面(2次元)が頂点(0次元)で3つ以上集まらないと立体(3次元)はできません.
シュレーフリの記号は以下のようです.
イメージ 1
(1)正4面体         {3,3}←シュレーフリ記号
正3角形の面(2次元)が頂点(0次元)で3つ集まっている.
(2)正6面体(立方体)    {4,3}←シュレーフリ記号
正4角形の面(2次元)が頂点(0次元)で3つ集まっている.

正多面体が記述の対象ですから,どの頂点まわりの状態も同じです.
 
◆4次元の正多面体の例
胞(3次元の多面体)が辺(2次元)で3つ以上集まらないと
4次元の立体はできません.

シュレーフリの記号は以下のようです.

イメージ 2
(1)正5胞体       {3,3,3}
3次元正4面体{3,3}が辺(2次元)で3つ集まっている.
(2)正8胞体       {4,3,3}
3次元正6面体{4,3}が辺(2次元)で3つ集まっている.

正多胞体なので,どの辺まわりの状態も同じです.


(参考)  {4,3,4} というのはどのようなものでしょうか?
これは,3次元正6面体が辺のまわりに4つ集まっている状態ですから
角砂糖を頂点を合わせて無限に積み重ねたような状態.
これは3次元空間の中で無限に続く立方格子です(3次元で納まってしまいます).

◆双対図形について
3次元の正多面体{p,q}の双対図形は{q,p}です.
{p,q}:正p角形の面が頂点でq個(辺がq本)集まっている.
この図形で面を頂点に変えた図形は,{q,p}となります.
同様に,{p,q,r}の双対図形は{r,q,p}になります.

◆4次元のイメージの万華鏡
雰囲気だけです(色々工夫していますが残念ながら困難なようです).
イメージ 3イメージ 4

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