「数学月間の会」へようこそ!
Welcome to Maths Awareness Month Organizing Committee of Japan !

The period of July 22nd to August 22nd was set as "Maths Awareness Month of Japan"
by the Mathematical Association of Japan
(MAJ) in 2005.
Maths Awareness Month of Japan is run on a voluntary basis.
"Journal of Mathematical Culture (JMC)" is the organ of MAJ and is published half-yearly.
These dates are derived from two mathematical constants:
Archimedes' constant pi(22/7=3.14) and Napier's constant / Euler's number e(22/8=2.7).
During this period we support various events for raising the awareness of maths
 throughout the country.
7月22日--8月22日は数学月間(since2005)
日本数学協会は,2005年に,7月22日ー8月22日を数学月間と定めました.
この期間は,数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます.
この期間に,数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています.

数学と社会の架け橋=数学月間     Maths for all !
日本数学協会(MAJ), 数学月間の会(SGK)  
 

日誌

数学月間SGK通信
123
2014/11/23

040_円による反転鏡映

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
007_インドラの網と反転円で言及したことがありますが
円による反転鏡映について,その性質や利用法を眺めて見ましょう.

◆円による反転鏡映の性質

下図に赤い円による反転鏡映の代表的な例を2つ示します.
反転円をよぎる直線aを反転すると,反転円の中心を通る円Aになる.
bを反転すると,円Bになる.
イメージ 1
この性質を知っていると,色々なことに利用できます.
イメージ 4
例えば,このような図形はアルベロス(靴屋のナイフ)
といいますが,この中の幾何学世界の面白さなどです.

下図のアポロニウスの窓の中にある黄色の円とピンクの円は,
緑色の円を反転円として,それぞれ反転円内の黄色とピンクの円が
鏡映像になります.これらの鏡映像は平行な直線(黒)に挟まれた
領域内に入ります.
平行直線の左はアポロニウスの窓の外周円の反転鏡映,
平行直線の右はアポロニウスの窓内にある左側の大きな円(灰)の
反転鏡映像です.なぜなら,外周円も左側の大きな円(灰)も
反転円の中心を通っているので,鏡映像はどちらも直線になるからです.
アポロニウスの窓内にある初めの黄色い円もピンクの円も,外周円と
内部の左側の大きな円(灰色)に接しているので,
それらの反転鏡映像でもそのような状態が保たれています.

このようなことがわかると,以下のパップスの定理が導かれます.
アルベロスの中で,右側の大きなピンクの円の上に生じる
黄色の円(ω1),続いて生じる灰色の円(ω2),の系列を考えると,
「円ωnの中心と直径ABとの距離は円ωnの直径のn倍である」
(パップスの定理)ことがわかります
以下の図は,ω2の場合の例です.
イメージ 3
イメージ 2
17:33 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/28

037_因果律ピエール・キューリーの原理

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
イメージ 1
ことしは結晶学の生誕100年にあたります
結晶にX線ビ?ムを照てると,
結晶がブロック積みのような周期的な構造なら回折が起こります.
(結晶内部の繰り返し構造の周期と,X線の波長が好都合なことに同程度だったのです)そう考えたのはラウエでしたのでこの実験をラウエの実験と言います(1912年).X線がレントゲンにより発見(1895年)されて間もない頃でした.
結果として得られたラウエの回折像には,その原因になった結晶内部の対称性が反映されているべきです.これは「キューリーの原理」という因果律です.
回折像を撮影して,小さくて目に見えない(~nm)結晶の内部構造の解析をしたのがブラック親子(1913年)です.
レントゲン(1901),ラウエ(1914),ブラック(1915),それぞれノーベル賞をもらっています.
17:19 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/28

037_結晶世界はデジタル

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
イメージ 1
大小いろいろな結晶がありますが,写真は全部,水晶の結晶です.
結晶個体は,いろいろな種類の結晶面で囲まれており,
その結晶面の大きさも結晶個体により様々です.
しかし,同じ組み合わせの結晶面どうしのなす角度は
どの結晶個体で測っても,同じになります.
例えば,黄色い面と青い面のなす角度は(各面に立てた垂線のなす角のこと)
どの結晶で測っても同じになります.⇒?面角一定の法則(1772)

イメージ 2
アウイ(1783)は,
「結晶は小さな単位胞がブロック細工のように積み重なって出来ている」
と考えました.→すなわち,結晶世界はデジタルな空間です!
それなら,現れる結晶面(上図の青い線)は格子点を載せている面なので,
面の傾きは有理数になります.→?有理指数の法則(1783)
17:16 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/27

039_空間のデジタル化.伝統模様

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
◆平面のブラベー格子は5つのタイプがあります.
それぞれの繰り返し模様は,どの格子に対応しますか?

日本の伝統文様には美しい繰り返し模様がたくさんあります.
着物や食器,籠バック,インテリアなど色々な所で見られます.
どのような対称性があるか模様を鑑賞しましょう.

イメージ 1


イメージ 2 
イメージ 3

17:31 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/27

036_空間のデジタル化

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
◆空間のデジタル化
写真フィルムは連続な平面ですが,デジカメの感光面は半導体のドットが並んでいます.人間の網膜も視細胞が配列しているデジタル化された平面です.最近の交通信号は円の中に発光ダイオードのドットが配列しています.これらが平面のデジタル化の例です.結晶も原子や分子が詰まった単位ブロック(胞)があり,これがきちんと積み重なりできている周期的な構造で,デジタル化された空間の例です.
イメージ?1
◆平面のデジタル化の様式
無限に広がる平面の何処も均一なようにデジタル化する(ドットを配列する)なら,規則正しく周期的な構造になります.交通信号の円内は均一なデジタル化はできません.平面のデジタル化はどのような様式に分類できるでしょうか?
(注)周期的なドットの配列は「格子」と呼ばれます.
格子の様式分類は,研究した人の名前をつけて「ブラベー格子」と呼ばれます.
2次元の「ブラベー格子」は5種類あることを説明します.


対称性から分類すると,これらの5つのタイップがある.
これらから格子を作ったものが以下の図
イメージ?3
上図に示した緑色のタイルは「W-S(ウイグナー・ザイツ)胞」といいます.
このタイルを赤い格子点に配置すると平面がタイル張りされることを確かめましょう.さて,
これらの周期的平面は,格子点(周期的な平行移動で生じる点)をすべて同値と考えると,
1つのタイルの中に引き戻せます.
以下の図には,それぞれのタイルの対称要素を記入しておきました.
イメージ?5
イメージ?4
上図左は,タイルの対称性が一目瞭然のW-S胞.右は,単位胞タイルです.
(注)単位胞の図を見るとわかるように,これらの5つはすべて単位胞に格子点が1つ含まれる1格子点胞です.
上段右の菱形胞を用いずに,面心型の2格子点胞を用いるのが慣例となっていることを申し添えます.

16:50 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/23

038_対称性の話2

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
◆対称図形の重ね合わせ
正3角形の部品を複数重ね合わせると,一般に,全体の対称性は低下するが
配置の仕方により全体の対称性が上昇することもある.
イメージ 1
このようなことをとり上げている本は見かけませんが,とても面白い現象です.

◆対称性の重畳
イメージ 2
正6角形は正3角形の対称性を含んでいますから,正6角形と
正3角形を鏡映面が共通になるよう重ね合わせる(下左)と
正3角形の対称性が残ります.

正3角形と正6角形の回転軸をそろえて,鏡映面が共通でないように重畳すると,
結果は3回回転対称だけが残ります(上左)

他の図も同様ですので,各自確認ください.正6角形と正5角形の重畳の場合は,
6回回転対称と5回回転対称に含まれる下位の対称性(共通な部分群)はないので,
鏡映面の一致がなければ,対称性はなにも残りません(上右).
17:28 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/23

038_対称性の話1

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
イメージ?1
◆正3角形の対称性
正3角形は,中心に回転軸を立て右回りに120°回転しても,始めの
状態と全く同じで回転したかどうかわかりません.この回転を続けて2回
行い240°の回転になっても同様です.120°の回転を3回続けて行うと1回転して
始めの状態に戻ります.正3角形は3回回転対称があります.このような
回転軸を3回軸といい,記号は3と書きます.
その他に,正3角形は鏡映対称があります.図に示した赤い線が鏡映面です.
ここにある3枚の鏡映面は3回軸で互いに移り変われるわけで,
全部同じ性質です.従って,正3角形の対称性は,
3回軸と1種類の鏡映面があり,記号では3mと書きます.
◆正4角形の対称性
正3角形の場合と同様に,こんどは中心に4回回転軸があります.記号は4です.
正4角形を見ると鏡映面が4枚あることがわかります.図で赤線で描いた2枚と
オレンジ線で描いた2枚です.4回軸によって,赤い鏡映面どうしは互いに移り変われるし,オレンジ鏡映面どうしも移り変われますが,赤とオレンジの鏡映面は,互いに
移り変わることができません.従って,今度は2種類の鏡映面があることになります.正4角形の対称性は,記号で4mmと書くことに注意してください.

◆同様に,正5角形,正6角形の場合は,図のようになることを各自確かめてください.
17:22 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/12

033_大阪大学公開講座

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
大阪大学理学部数学教室は,
現代数学の様相と数学研究の実際,自然科学や社会科学に及ぼす数学の影響,文化としての数学の在り方などについて,多角的な視点から易しく解説する公開講座を,高校生を対象に夏休みのこの時期に開催しています( オープンキャンパスも同日実施されます).
まさに数学月間の模範になるイベントで,毎年,杉田洋教授より情報を頂きSGKのwebに掲載しています.今年のテーマは,“多面体の不思議”でした.
2014年8月12日(火),10:00?12:00
会場:     大阪大学豊中キャンパス 理学研究科 D棟 D307教室
講師:     村井 聡(情報科学研究科情報基礎数学専攻 准教授)
毎年,興味深いテーマが選ばれ,私も参加したいと思いつつまだ参加できずにおります.今回のイベントでは受講生が殺到し,準備した教室に定員の2倍近い人(約100人)が集まり,来年は教室の選択を考える必要がありそうと伺っております.
(出席していないので以下は私の勝手な解説です)

多面体はとても古くから考えらてきた図形で、紀元前のギリシャ時代には既にその性質が調べられていました.
多面体で基本的な定理は,オイラーの定理V+F-E=2(3次元)が有名です.これを使うとプラトンの正多面体(凸多面体)が5つというのがすぐ証明できます.正多面体というのは,面が1種類の正多面体でできており,どの頂点のまわりの状態も同一なものです.正多面体の記述は,定義の本質を捉えているシュレーフリの記号を用います.正p角形が頂点にq個集まっている(同じことだが辺がq個集まっている)状態は,{p,q}と記述されます.3次元の多面体は,面が3個以上集まらないと作れませんし,面が正3角形の場合には,6個集まると平面になってしまいますので,正3角形の面をもつ凸多面体は,{3,q},q=3,4,5しかありません.q=3の場合は正4面体,q=4の場合は正8面体,q=5の場合は正20面体です.
全ての面が合同な正3角形であるが正多面体でないものまで数えると8種類になりこれらをまとめてデルタ多面体と呼びます.
1種類で空間を隙間なく充填できる正多面体は立方体だけですが,2種類の組み合わせで空間を充填できる正多面体は,正4面体と正8面体です.
結晶学では良く知られていることですが,面心格子と体心格子というのも立方体と同じ対称性を持ち,それぞれのウイグナー-ザイツ胞(デリクレ胞とも言う)は,それぞれ菱形12面体,切頂正8面体になります.数学と諸科学[科学や造形]の関わり合いで現れる多面体の性質は,非常に興味を惹く話題です.
06:43 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/12

034_結晶で見られる多面体(その2)

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
◆黄鉄鉱の結晶粒の外形には,多面体がいろいろ現れることを,
028号で述べました.整理すると下図のようです.
イメージ?1
さて,この図の中に正12面体や正20面体の外形が見られるようですが
結晶(周期的な内部構造をもつ)では,5回対称軸は存在できず,
5回対称のある正12面体や正20面体は外形にも生じないはずです.
詳しく調べてみると,黄鉄鉱の正12面体のような5角12面体は,
(2,1,0)面で囲まれているようです.*ミラー指数
両者の多面体で二面角の比較をしてみましょう:
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
黄鉄鉱    126.89° (2回軸を挟む二面角)
正12面体  116.57°
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
黄鉄鉱の外形(5角12面体)は正12面体ではありません.

◆ミラー指数
ミラー指数とは面の傾きの表示です.
下図のブロックのサイズは,x,y,z各1単位
(x,y,zの各単位は互いに等しくなくて,斜交軸でもかまいません)
例えば,(2,1,0)面の,x軸,y軸,z軸との切片は,1/2,1,∞です.
切片の逆数の比をとると,ミラー指数 2,1,0 が得られます.

結晶は単位ブロックが積み重さなった周期的な世界です.
周期的な世界(格子点が並んだデジタル世界)の格子点を載せた
面の傾きは有理数ですから,すべての結晶面のミラー指数は整数となります.

周期的な世界に5回対称軸は存在できませんので
結晶(周期的な内部構造を持つ)は,正20面体の外形になることはできません.
(注)“準結晶”には5回対称がありますが,周期的な世界ではありません.

◆黄鉄鉱pyriteの6面体,5角12面体と準結晶(正12面体)
イメージ?2イメージ?3イメージ?4

◆柘榴石garnetも立方晶系の結晶構造ですので
外形もさいころのような対称性を示します.
菱形12面体~24面体(これらは正多面体や半正多面体ではありません)
の晶系の変化があります.

写真はwebで拾った岩手県和賀仙人鉱山産の柘榴石結晶です
イメージ?1
06:24 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/10/01

032_化学の日は10月23日

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
日本化学会,化学工学会,日本化学工業協会,新化学技術推進協会の4団体が,
10月23日を「化学の日」,その日を含む月曜日から日曜日までの1週間を「化学週間」と昨年制定しました.なぜ10月23日が?これはアボガドロ数6.02×10^23に因んでいます.これもやはり米国が先でNational Mole Foundationが10月23日をMole Dayと定め盛んな活動が行われているそうです.
早速,今年は産官学一体となって,化学の普及活動が国民的イベントとなるように呼びかけています.数学月間でもこのような取り組みが必要です.経緯を見てみましょう.

[以下,化学と工業,Vol67-9,2014,玉尾皓平氏(日本化学会前会長)の記事の抜粋]??
◆2年前の会長就任時に提案した2つの具体的提案を紹介します。
「全国一斉オープンキャンパス」:これが 「化学の日」と直結する提案です。各大学. 研究機関や化学企業で独自に行っているオープンキャンパスやオープンファクトリーを,「化学の日」「化学週間」にできるだけ 曰程を合わせて一斉に実施いただくことで,国民的イベントとして認知度を高めようとの取組みです。
「『夢・化学-21』の全国統一ブランド化」: 「夢・化学-21」キャンペーンの強化策として,そのロゴマークを意匠登録し,上で述ベたようなこれまでのすべての化学啓発活動にロゴマークを付してビジビリティの向上を目指すものです。

いずれもいわば全国区の活動ですが,期間限定型で集中的に盛り上げる企画と,通年活動型で全国津々浦々いつでも「夢・化学-21」ロゴマーク付きのイベントが行わ れている,という性格の異なる活動を2つ準備し,足並みをそろえて最大の効果を狙おうとする点が特徴です。提案4団体だけではなく,経済産業省や文部科学省,さらにはマスコミ関係者の賛同も得ており,産学官一体となった初めての本格的な取組みで,化学の啓発活動,市民権獲得にとっての決め手となるものと期待しています

◆「化学の日」「化学週間」のイベントは?
「化学の日」を長く定着させるためには. 活動現場に新たなロードを課さないことが 重要と考えます。新たに企画するのではな くて,現在行われているイベントの開催日 をできるだけ「化学の日」「化学週間」の 日程に合わせていただくことで.最大の効 果を上げようとの考えです。すでに,各支 部や産業界に対して,日程調整のご協力を お願いしています。
ただ,初年度の今年は,「化学の日@開成学園」「化学週間@東京大 学」「子ども実験ショー@近畿」などのキックオフイベントを企画中です。
また,各種一般紙や月刊誌「ニュートン」「化学」「現代化学」「子供の科学」などへのPR記事掲載の企画も進んでいます。

14:07 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/09/30

035_民力指数

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
今年の「数学月間懇話会」で松原望さんから「民力指数」についての
講演がありました.指数といえば「消費者物価指数」などが有名です.
数学で指数というのは桁(比率)の表現なので,例えば,基準年の物価
に対して何倍の変化があったかという「消費者物価指数」を,
指数というのは適当でありましょう.

しかし,「民力指数」の指数の意味はこれとは違うようです.
地域の「民力指数」とは,正の数値(スカラー)で,その地域の
生産・消費・文化,および,人口などの基本指標の関数として
(26種の経済統計量の関数として)定義されます.
これは
朝日新聞が30年以上前に発案した定義だそうです.

地域の「民力指数」は,地域の経済活動力の表現になります.
都道府県に対する「民力指数」は全国を1,000に,市町村に対する
「民力指数」は全国を100,000になるように規格化します.

「民力指数」は数学的には測度であるので加法的であることが
松原さんの講演で指摘されました.
地域Aと地域Bの合併の「民力指数」の試算も合理性があり
色々な利用が期待できます.

16:46 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/09/29

031_べき乗則と地震

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.09.30] No.031
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
地震に関心が高まっていますが,地震は地殻の破壊現象ですから
“いつ”その地層がポッキリ折れるかという予知はできません.

◆地震の規模(マグニチュード)M
まず,地震のマグニチュードMとは何でしょうか?
これは地震のエネルギーEの対数です.
大体,地震のエネルギーの大きさの桁と思ってよいでしょう.
リヒターが当初発案したマグニチュードの定義は,
震央から100kmに設置したと仮想した,特定な型の地震計で
観測される最大振幅の対数でした.しかし,現在では
もっと理屈に合ったモーメント・マグニチュード
(あるいは気象庁マグニチュード)が採用されています.

◆起こり得る最大地震
地震で解放されるエネルギーは,生じた断層面の面積と
その平均変位とその付近の地層の剛性の積です
(大雑把にいえば生じた断層の長さに比例します).
地層に溜まった歪エネルギーが地震で解放されるわけですが,
断層の長さが長い方が解放されるエネルギーは大きいし,
地層の剛性が大きいほど大きな歪エネルギーが蓄えられます.
これらから起こり得る地震の最大エネルギーを見積もると
M9.5程度と考えられています
(1960年のチリ地震ではM9.5が観測されている).

◆べき乗則
地震の規模(マグニチュード)Mと発生頻度(回/年)n
の間に n=10^(a-bM) の関係があります.
これはグーテンベルクとリヒターが発見しました.
a,bはその地域の地層の特性を表す定数でが,b≒1程度ですので
地震のマグニチュードが1つ大きくなるごとに,地震の回数は1/10に減ります.
だからこれをべき乗則と言います.

地震の規模Mには最も発生しやすい典型というのがありません
(釣鐘型の正規分布ではありません).
大きな地震は少なくなりますが,M=9あたりも起こり得るし,
そんな巨大な地震に見舞われると壊滅的なダメージです.
従って,頻度は小さいけれど致命的なダメージとなる巨大地震が起きても
被害が最小となるように対策する必要があります.原発は止めましょう.

クリーン・ルームのチリのサイズ分布もべき乗則だと言われています.
もし正規分布のように頻度の高いサイズがあるなら
そのサイズのチリの発生に注目した対策ができるのですが
べき乗則では特別な対策は困難です.でもこの場合は,
大きなサイズのチリが大きな被害を与えるわけではありません.

◆分布関数を求める実験
凍ったジャガイモを投げて砕き,破片のサイズ分布を調べた人が居ます
(南デンマーク大,1993年).ここでもべき乗則が確認されました.
スパゲッティやクラッカーを砕くとどのようなサイズ分布になるか
実験した話が今年の数学月間懇話会で中西達夫さんからありました.


22:49 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/09/23

030_とっとりサイエンスワールド2014in倉吉

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.09.23] No.030
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆今年のとっとりサイエンスワールド2014(矢部敏昭会長)が
9月21日(中部,倉吉)で無事終わりました.例年のように
8月31日(東部,鳥取),8月2日(西武,米子)の計3回開催され
各回,1000人に達する参加者が集まりました.
スタッフも先生方100人+高校生ボランティア60人の規模です.
8年目ですが,小さい子供から,両親,お年寄りまで,楽しみに集まる
算数イベントに定着しました.
イメージ?1

◆万華鏡は,各会場でそれぞれ異なる3角形の鏡の組み合わせを作りました.
西部110人,東部160人,中部110人用意しました.
鳥取でやったけれど倉吉にまた来たという小さい小学生もいたり,
彼女はすっかり内容を理解していてもうベテランです.大したものだ.
鏡の組み合わせが作る3角形が変われば,違うタイル張り模様が見られることを
知ることが眼目なので,色々な鏡の組み合わせの万華鏡や,
多面体が立体的に見える万華鏡などの展示物も用意して行きます.
これらの内で,2枚鏡の万華鏡の人気が高く
来年のリクエストとして聞いておきました.
イメージ?2イメージ?3
07:00 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/09/16

029_4次元を見る万華鏡

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.09.16] No.029
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
読者の皆様へ.
8月19日(025号)からまぐまぐの遅配が続いています.
特に,026号,027号はまだ配送されていない方があるようです.
届かない方がありましたら,ご一報ください.

これらの最近号では多面体に関する話をしています.

メルマガ更新は毎火曜日の朝7:00に行っておりますので,
以下のサイトでもご覧になれます.

??????????

 
◆4次元の正多面体は6種あるのですが,3次元以上が見えない私たちには
理解が困難です.
色々な図や説明が種々の本やwebで見られますが,どれもしっくりしません.
結局,4次元の正多胞体6種を最初に見つけたシュレーフリの説明が
最もわかり易いようです.(コクセター[幾何学入門]や
ヒルベルト,コーン・フォッセン[直観幾何学]に載っています).
さて,このようなものを記述するシュレーフリの記号というのは
大変良くできています.この記号の仕組みを理解することが
4次元の理解に直結します.シュレーフリの記号を単純な例で見てみましょう.

◆3次元の正多面体の例
面(2次元)が頂点(0次元)で3つ以上集まらないと立体(3次元)はできません.
シュレーフリの記号は以下のようです.
イメージ 1
(1)正4面体         {3,3}←シュレーフリ記号
正3角形の面(2次元)が頂点(0次元)で3つ集まっている.
(2)正6面体(立方体)    {4,3}←シュレーフリ記号
正4角形の面(2次元)が頂点(0次元)で3つ集まっている.

正多面体が記述の対象ですから,どの頂点まわりの状態も同じです.
 
◆4次元の正多面体の例
胞(3次元の多面体)が辺(2次元)で3つ以上集まらないと
4次元の立体はできません.

シュレーフリの記号は以下のようです.

イメージ 2
(1)正5胞体       {3,3,3}
3次元正4面体{3,3}が辺(2次元)で3つ集まっている.
(2)正8胞体       {4,3,3}
3次元正6面体{4,3}が辺(2次元)で3つ集まっている.

正多胞体なので,どの辺まわりの状態も同じです.


(参考)  {4,3,4} というのはどのようなものでしょうか?
これは,3次元正6面体が辺のまわりに4つ集まっている状態ですから
角砂糖を頂点を合わせて無限に積み重ねたような状態.
これは3次元空間の中で無限に続く立方格子です(3次元で納まってしまいます).

◆双対図形について
3次元の正多面体{p,q}の双対図形は{q,p}です.
{p,q}:正p角形の面が頂点でq個(辺がq本)集まっている.
この図形で面を頂点に変えた図形は,{q,p}となります.
同様に,{p,q,r}の双対図形は{r,q,p}になります.

◆4次元のイメージの万華鏡
雰囲気だけです(色々工夫していますが残念ながら困難なようです).
イメージ 3イメージ 4

07:00 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/09/07

028_結晶で見られる多面体

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.09.09] No.028
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
◆プラトンの正多面体は
5種類あります.
これら5種類の正多面体の対称性を考慮して
方位を合わせ重ね合わせた図が以下のものです.
この図のように2つの正多面体を重ね合わせると
それぞれの多面体の対称性で共通なもの(共通部分群)が残ります.
イメージ?1
◆黄鉄鉱FeS2の結晶は,色々な外形(晶相)のものが見られます.
黄鉄鉱は愚者の金とも言われ金色できれいです.
私は,川底に金色の砂がキラキラ光って貯まっているのを見つけて
採集したことがあります.1mm程度の結晶粒ですが
皆整った多面体の形をしていました.
結晶の外形は,正6面体,正8面体,正5角12面体が基本で,
ミラー指数で言うと,正6面体は結晶面(100)面,
正8面体は(111)面,正5角12面体は(210)面で囲まれています.
このほかに,これら正多面体の切頂多面体も見られ,
また,他の指数の面(211),(321)が加わった複雑な多面体もあります.
多面体の形が連続的に変化することを示す良い自然の手本です.
黄鉄鉱の結晶は立方対称の内部構造(原子の配列)ですが,
結晶粒の外形は,どの指数の面が大きく成長するかによって変わります.

◆そこで,昔読んだ記憶のある砂川一郎の論文(1957)を
再度見てみました.奈良県や島根県にある絹雲母の鉱床や凝灰岩の
母岩中に晶出した黄鉄鉱の結晶粒の大きさと形の統計を述べています:
「小さい結晶粒では正6面体,大きい結晶粒では5角12面体の外形が多い」
晶相の変化を起こす機構は大変複雑で一概に言えませんが,
黄鉄鉱結晶の成長に伴って大きく成長する面が,
正6面体の面(100)→正8面体の面(111)→5角12面体の面(210)
と変化し晶相が変る.これは結晶面の性質と母岩(絹雲母化)との
化学的反応がかかわっているらしい.
◆今回,砂川一郎の論文中の図が,
Tシャツとして博物館グッズになっていることを知りました.
http://ameblo.jp/hakubutufes-sub/image-11876822744-12970852035.html

21:37 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/09/02

027_とっとりサイエンスワールドin鳥取

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.09.02] No.027
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

「とっとりサイエンスワールド」in鳥取市(8月31日)に参加しました.
とっとりサイエンスワールドは今年で8年目になり,小さい子供から
お年寄りまで楽しめる市民イベントとしてすっかり定着しました.
学生ボランティア54人(短大・高45人,中9人)を含む先生方150人のスタッフで
運営され,大変さまざまなワークショップがあります.
私は万華鏡のワークショップで参加しました.
1時間のクラスを5回実施し,160人が自分の万華鏡を作りました.
イメージ?1イメージ?2

◆今年,鳥取で作ったものは,3枚鏡が作る3角形が,90°ー36°ー54°のものです.
交差する2枚の鏡が反射を繰り返し生じる結果が群をなすのは
2枚の鏡の交差角が360°を偶数で割り切る角度のときです.
通常の万華鏡はそのような鏡の交差角に設定されます:
例えば,60°(360/60=6).36°(360/36=10)などです.
これは,1817年のブリュースターの万華鏡の特許にも記載されています.
群をなすときには生じる映像は規則正しく美しく見えます.
しかし,今回作成した万華鏡は,3角形の1つの角の交差角だけが
54°(360/54=6.666)と偶数で割り切れません.
このような角度に対応する所はどのような映像が見られるでしょうか?
数学では3周回ってもとに戻る(360°×3)ような空間を想像しても良く,
そのときは10回回転対称が完成するのですが,
実際の物理的な空間の光はそのようには回ってくれません.
他の2つの角の所では規則正しい映像になるのですが,
この角度の所だけ秩序が乱れることになります.
昨年のサイエンスワールドから,このようなシリーズの万華鏡を作っています.
07:00 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/08/26

026_ケプラー予想

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.08.26] No.026
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
この所,正多面体による空間の充填などを見てきました.
今回は,最密充填構造の話です.以下の本が参考になります:
ケプラー予想,ジョージ・G・スピーロ(青木薫訳)新潮社

◆ケプラー予想とは:
「3次元空間で最も高密度に同じ大きさの球を充填した状態は,
1つの球のまわりを12個の球が取り囲む状態で,
その空間充填率は74.04%である」というものです.
これは,結晶学では最密充填構造として常識になっていることがらです.
立方最密充填(=立方面心格子),6方最密充填,および,両者の混合のポリタイプは
無数にありすべて同じ充填率74.04%です.この起源は1883年,結晶学者ウィリアム・バーロウが6方および立方の最密充填の2つの最密充填構造をネイチャーに掲載したことにあります.
バーロウは結晶空間群の数え上げ(フェドロフ,シェンフリーズもそれぞれ独立に数え上げた)でも有名です.

注:スピーロの著書p.23でバーロウの図に言及し,立方最密充填は6方最密充填とまったく同じ配置なのだ!」と言っているのは,数学と結晶学との見解の相違.
111面(切断)が同一であるのは当たり前で,その積層様式に結晶学的違いがあるのだ.

◆ケプラー予想は多くの人が挑戦しましたが,どうやってもこれより稠密な充填構造はつくれません.これより充填密度の高い構造はないという証明はとても難しいのです.このケプラー予想をヒルベルトは,1900年8月,第2回国際数学者会議の講演で,未解決の23の問題(ケプラー予想は第18問題)として提起しました.
周期的に規則正しく並べる(結晶)という条件では,ケプラー予想は証明できるのですが,不規則な並べ方まで含めてこれが最密であるということの証明はとても困難です.正4面体でも正8面体でも正12面体でも正20面体でも,単一では空間の充填ができません.前号で正4面体と正8面体を2:1で混ぜると周期的に空間が充填できることを示しましたが,それは面心立方の最密充填構造にほかなりません.さらに高密度な様式はないのだろうか?
例えば,立方最密充填では1つの球の周りに6個の球が囲み,上の段,下の段に3個づつ球が接します.上下の3角形が点対称であるような配置が立方最密充填,上下の3角形が周りを囲む6角形を鏡として鏡映対称であるような配置が6方最密充填です.
このような1つの球のまわりに12個の球が配置する構造と言っても,次のようなものがあります.
中心球の赤道面の上側から5個の球,下側から5個の球が接し,上下の正5角形が点対称に配置し,さらに,中心球の上下に球が1個づつ配置するのも12個配置です.これは正20面体配置と呼ばれます.しかし,この配置は局所的には充填密度が高いが,正20面体だけでは空間の充填ができません.
どうも数学的にエレガントな証明は無理なようです.

◆ケプラー予想の証明は,トマス・ヘールズ(ミシガン大学)によってコンピュータを用いたしらみつぶし法で完成したということです.ケプラー予想(1611年「六角形の雪について」という友人向けの小冊子にあるという)から400年近く経過した1998年のことです.
ヘールズはドロネーの四面体分割を基礎に,シンプレックス法で計算されました.
評価関数を導入して,密度の低い配置は減点,密度の高い配置は加点を繰り返すものです.300ページもあるヘールズの論文は,トート(Toth)ら審査員12人が4年かかってチェックしましたが最後まで詰められず99%正しいと報告されました.
そこで,2003年にヘールズ自身が証明支援ツール(HOL Light,Isabelle など)を使いチェックを始めやっと証明できたと言います.コンピュータを用いる証明は「4色問題」の時にもありました.
07:00 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/08/19

025_空間を充填できる多面体

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.08.19] No.025
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
お盆休みも終わりました.
皆様お元気でお過ごしのことと存じます.
お知らせがあります.今までバックナンバーを
まぐまぐにすべて公開していましたが,
お盆休み中に,公開は最新号のみに変更しました.
バックナンバーをご覧になる場合には,
ブログ:http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/ あるいは,
公式HP: http://sgk2005.sakura.ne.jp/ で
メルマガ倉庫の項目をご覧ください.

◆今回は,空間を隙間なく充填できる正多面体についての話です.
正6面体(角砂糖の形)が隙間なく積み重ねられ空間を充填する
ことはご存知でしょう.
◆それでは,正4面体,正8面体はどうでしょうか?
どちらもそれだけでは隙間なく空間を充填することはできません.
しかし,正8面体と正4面体を1:2の比率で混ぜると
周期的に空間を隙間なく充填できます.
イメージ?2


イメージ?3

このパズルは,osa工房,小梁さんが販売しています.
さて,幾何学的にこのようなうまい構造を思いつくのは
特殊なことなのですが,
自然界でこのような空間充填構造はたくさんあります.
結晶学では,ダイヤモンドがこのような構造であることは
古くから知られています.半導体で知られるシリコンも
ダイヤモンド型結晶構造です.
イメージ?4

他の例では,ペロブスカイトと言う鉱物があり,
常温超伝導などの多くの有用な材料がペロブスカイト型の結晶構造です.
正8面体が骨組みを作っています.
イメージ?5
◆菱形12面体はこれだけで空間の充填ができる多面体です.
菱形12面体は,面心格子のウイグナー-ザイツ胞であるので
空間を充填できることは明らかです.


切頂正8面体は,体心格子のウイグナー-ザイツ胞であり
もちろんこの多面体も空間を充填できます.
イメージ?1
面心格子の格子点に原子を配置した結晶構造は,銅やアルミニウムなど
多くの金属の結晶構造で知られています.
また,体心格子構造は,鉄,タングステン,セシウムなど
多くの結晶構造で知られています.

◆今回の話の眼目は,純粋に数学的に空間充填構造を導くのは
とても大変なことですが,結晶学などでは昔から知られていたということです.
自然科学の分野から数学への多くの貢献がなされてきました.
結晶点群や空間群なども化学や鉱物学で発展し数学に貢献した例です.
07:51 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/08/12

024_立体万華鏡(続)

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.08.12] No.024
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
お盆休みの時期ですが,皆様いかがお過ごしですか.
今回のメルマガは,No.023に続き多面体に関してです.
(1)多面体の分類を整理しておきます.
■正多面体
1種類の正多角形で囲まれた凸多面体です.
頂点のまわりに集まっている多角形の状態は,すべての頂点で同じです.
もちろん,辺のまわりの状態もすべての辺で同じです.
プラトンの正多面体とよばれる5種類があります.
■半正多面体
2種類以上の正多角形で囲まれた凸多面体です.
頂点のまわりに集まっている多角形の状態は,すべての頂点で同じです.
しかし,辺のまわりの状態は,すべての辺で同じとは限りません.
アルキメデスの半正多面体といい13種類あります.
(右回りと左回りを区別するなら15種類)
特に,辺のまわりの状態が.すべての辺で同じものは,準正多面体と言います.
■準正多面体(半正多面体に含まれる)
立方8面体と12・20面体の2種類があります.

(2)菱形12面体と菱形30面体について
これらの多面体は,準正多面体の双対として得られます.
イメージ?1
■菱形12面体と菱形30面体を万華鏡で作ろう
イメージ?2

イメージ?3
■菱形12面体は空間を充填できる
実は,菱形12面体は,立方面心格子のウィグナー=ザイツ
(あるいはデリクレ)胞に他なりません.
イメージ?4
06:59 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
2014/08/12

023_立体万華鏡

Tweet ThisSend to Facebook | by:kinat
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 [2014.08.05] No.023
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
皆さま如何お過ごしでしょうか?書中お見舞い申し上げます!
現在,数学月間(7/22?8/22)の期間中です.暑い最中ですが
数学月間懇話会(7/22),とっとりサイエンスワールドin米子
も無事終了しました.
■プラトンの正多面体

正多面体とは,次の(1),(2)を満たすもので,
特に凸多面体がプラトン正多面体と呼ばれる:
(1)すべての面が同一の正多角形でできている
(2)すべての頂点まわりの状態は同一である
従って,正p多角形が頂点まわりでq個集まっている正多面体は
{p,q}と表記できる.これを正多面体のシュレーフリの記号という.
イメージ?1
■5つのプラトン正多面体を万華鏡で作る

上図の各多面体には鏡映対称面がたくさんあります
(煩雑になるので記入していません).
各多面体で3つの鏡映面を選び,これを鏡とする万華鏡を作れば
それぞれの多面体の映像が見られるでしょう.
ここでは,幾つかの多面体に共通な鏡映対称面を利用して
まとめてプラトンの正多面体の映像を生成してみましょう.
イメージ?2イメージ?3
06:58 | 投票する | 投票数(0) | コメント(0)
123